Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（1，-1），$\overrightarrow{c}$=（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），实数m，n满足m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，则（m-1）²+（n-1）²的最小值为3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 实数m，n满足m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，可得m（1，1）+n（1，-1）=（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），化为m²+n²=1．r=1，求出圆心（0，0）到点（1，1）的距离d．可得（m-1）²+（n-1）²≥d-r

解答 解：∵实数m，n满足m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，
∴m（1，1）+n（1，-1）=（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），
∴m+n=$\sqrt{2}$cosθ，m-n=$\sqrt{2}$sinθ，
∴m²+n²=1．
∴圆心（0，0）到点（1，1）的距离d=$\sqrt{2}$．
则（m-1）²+（n-1）²≥$（\sqrt{2}-1）^{2}$=3-2$\sqrt{2}$．
∴（m-1）²+（n-1）²的最小值为3-2$\sqrt{2}$．
故答案为：3-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算、圆的方程、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．