Question

7．设集合A满足条件：若x∈A，则$\frac{1}{1-x}$∈A（x∈R且x≠1），求下列问题：
（1）若数列{2•（-1）ⁿ}（n∈N^*）中的项都在A中，求A中所含元素个数最少的集合A^*，
（2）在A^*中任取3个元素a、b、c，求使abc=-1的概率
（3）A中所含元素个数一定是3n（n∈N^*）个吗？若是，请给出证明，若不是试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由2•（-1）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n为正奇数}\\{2，n为正偶数}\end{array}\right.$，利用x∈A，则$\frac{1}{1-x}$∈A（x∈R且x≠1），能求出A中所含元素个数最少的集合A^*．
（2）根据集合A^*中元素个数，求出从中任取3个元素a、b、c的基本事件总数n，再求出使abc=-1包含的基本事件个数m，由此利用等可能事件概率计算公式能求出使abc=-1的概率．
（3）A中所含元素个数一定是3n（n∈N^*）个．由x∈A，则$\frac{1}{1-x}$∈A，得到$\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}$=$\frac{x-1}{x}$∈A，然后推导出x，$\frac{1}{1-x}$，$\frac{x-1}{x}$互不相等即可证明A中所含元素个数一定是3n（n∈N^*）个．

解答 解：（1）∵2•（-1）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n为正奇数}\\{2，n为正偶数}\end{array}\right.$，
x∈A，则$\frac{1}{1-x}$∈A（x∈R且x≠1），且数列{2•（-1）ⁿ}（n∈N^*）中的项都在A中，
∴-2∈A，且$\frac{1}{1-（-2）}$=$\frac{1}{3}∈A$，$\frac{1}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$∈A，$\frac{1}{1-\frac{3}{2}}$=2∈A，
2∈A，且$\frac{1}{1-2}$=-1∈A，$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈A，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=-2∈A，
∴A中所含元素个数最少的集合A^*={-2，-1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，2}．
（2）在集合A^*={-2，-1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，2}的6个元素中任取3个元素a、b、c，
基本事件总数n=${C}_{6}^{3}$=20，
使abc=-1包含的基本事件个数m=2，
∴使abc=-1的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$．
（3）A中所含元素个数一定是3n（n∈N^*）个．
证明：x∈A，则$\frac{1}{1-x}$∈A，$\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}$=$\frac{x-1}{x}$∈A，
∵x∈R且x≠1，
∴当x=$\frac{1}{1-x}$时，x²-x+1=0，
△=1-4＜0，方程x²-x+1=0无解，
∴$x≠\frac{1}{1-x}$；
当x=$\frac{x-1}{x}$时，x²-x+1=0，
△=1-4＜0，方程x²-x+1=0无解，
∴$x≠\frac{x-1}{x}$；
当$\frac{1}{1-x}=\frac{x-1}{x}$时，x²-x+1=0，
△=1-4＜0，方程x²-x+1=0无解，
∴$\frac{1}{1-x}≠\frac{x-1}{x}$，
∴A中所含元素个数一定是3n（n∈N^*）个．

点评 本题考查集合中元素个数的判断，考查元素与集合的关系，考查概率的求法，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．