Question

2．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为非零向量根据平面向量数量积的定义证明向量性质：|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，并用该性质证明不等式：（mp+nq）²≤（m²+n²）（p²+q²）．
（2）探究函数y=4$\sqrt{x-1}$+3$\sqrt{5-x}$的最大值与最小值，如果有最大值与最小值，一并求出何时取到最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{a}$=（m，n），$\overrightarrow{b}$=（p，q），可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=mp+nq，$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{p}^{2}+{q}^{2}}$．利用|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，即可证明．
（2）由函数y=f（x）=4$\sqrt{x-1}$+3$\sqrt{5-x}$，可得x∈[1，5]，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 （1）证明：设$\overrightarrow{a}$=（m，n），$\overrightarrow{b}$=（p，q），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=mp+nq，$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{p}^{2}+{q}^{2}}$．
∵|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，
∴|mp+nq|≤$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$•$\sqrt{{p}^{2}+{q}^{2}}$．
∴（mp+nq）²≤（m²+n²）（p²+q²）．
（2）解：由函数y=f（x）=4$\sqrt{x-1}$+3$\sqrt{5-x}$，可得x∈[1，5]，
∴f′（x）=$\frac{2}{\sqrt{x-1}}$-$\frac{3}{2\sqrt{5-x}}$=$\frac{4\sqrt{5-x}-3\sqrt{x-1}}{2\sqrt{（x-1）（5-x）}}$，
令f′（x）≤0，解得5≥x≥$\frac{89}{25}$，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）≥0，解得$\frac{89}{25}$≥x≥1，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=$\frac{89}{25}$时，函数f（x）取得最小值，$f（\frac{89}{25}）$=$\frac{58}{5}$．
又f（1）=6，f（5）=8．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值即可得出、向量的数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．