Question

13．已知幂函数f（x）的图象过点（$\sqrt{2}$，2），幂函数g（x）的图象经过点（2，$\frac{1}{4}$）
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）当x为何值时，①f（x）＞g（x）；②f（x）=g（x）；③f（x）＜g（x）？

Answer 1

分析 （1）设出幂函数的解析式，利用待定系数法求出f（x）、g（x）的解析式；
（2）令f（x）＞g（x）、f（x）=g（x）与f（x）＜g（x），分别求出x的取值范围．

解答 解：（1）设幂函数f（x）=x^α，
其图象过点（$\sqrt{2}$，2），
即${（\sqrt{2}）}^{α}$=2，解得α=2，
∴f（x）=x²；
同理，幂函数g（x）的图象过点（2，$\frac{1}{4}$），
∴g（x）=x^-2，（x≠0）；
（2）①当f（x）＞g（x）时，x²＞x^-2，
即x⁴＞1，解得x＞1或x＜-1，
∴当x＜-1或x＞1时，f（x）＞g（x）；
②当f（x）=g（x）时，x²=x^-2，解得x=±1，
∴当x=±1时，f（x）=g（x）；
③当f（x）＜g（x）时，x²＜x^-2，解得-1＜x＜1，且x≠0；
∴当-1＜x＜1且x≠0时，f（x）＜g（x）．

点评 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．