Question

3．已知函数f（x）=-x²+x，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≤a}\\{f（x-1）-1，x＞a}\end{array}\right.$，若关于x的方程g（x）=t对任意的t＜$\frac{1}{4}$都恰有两个不同的解，则实数a的取值集合是{$\frac{3}{2}$}．

Answer 1

分析 求出g（x）的解析式，画出图象，讨论a＞$\frac{3}{2}$时，a＜$\frac{3}{2}$时，a=$\frac{3}{2}$时，分段函数的图象的特点，根据题意结合图象即可得到所求a的取值集合．

解答 解：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x≤a}\\{（x-1）-（x-1）^{2}-1，x＞a}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x≤a}\\{3x-3-{x}^{2}，x＞a}\end{array}\right.$，
作出g（x）的图象，
当x≤a时，g（x）的对称轴x=$\frac{1}{2}$，顶点为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）．
当x＞a时，g（x）的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
由（a-1）-（a-1）²-1=a-a²，解得a=$\frac{3}{2}$．
当a＞$\frac{3}{2}$时，x＞a时，函数递减，x≤a，g（x）不单调，
x=a时，（a-1）-（a-1）²-1＞a-a²，
关于x的方程g（x）=t对任意的t＜$\frac{1}{4}$不都有两个不同的解；
当a＜$\frac{3}{2}$时，x＞a和x≤a中，g（x）总有一个不单调，
且x=a时，（a-1）-（a-1）²-1＜a-a²，
关于x的方程g（x）=t对任意的t＜$\frac{1}{4}$不都有两个不同的解；
故只有a=$\frac{3}{2}$时，关于x的方程g（x）=t对任意的t＜$\frac{1}{4}$恰有两个不同的解．
故答案为：{$\frac{3}{2}$}．

点评 本题考查函数和方程的转化思想，考查函数的性质的运用，考查分类讨论和数形结合的思想方法，属于中档题．