Question

6．甲袋有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各取一个，交换放入另一袋中，求交换n次后，黑球仍在甲袋中的概率$\frac{1}{6}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设A_n表示事件交换n次后黑球仍在甲袋中，先利用全概率公式推导出P（A_n）=$\frac{1}{3}[1+P（{A}_{n-1}）]$，从而得到P（A_n）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$[P（A_n-1）-$\frac{1}{2}$]，由此利用等比数列的性质能求出交换n次后，黑球仍在甲袋中的概率．

解答 解：设A_n表示事件交换n次后黑球仍在甲袋中，
P（A_n）=P（A_n-1）P（A_n|A_n-1）+P（$\overline{{A}_{n-1}}$）P（A_n|$\overline{{A}_{n-1}}$）
=$\frac{2}{3}P（{A}_{n-1}）+\frac{1}{3}[1-P（{A}_{n-1}）]$
=$\frac{1}{3}P（{A}_{n-1}）+\frac{1}{3}$，
∴P（A_n）=$\frac{1}{3}[1+P（{A}_{n-1}）]$，
∴P（A_n）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$[P（A_n-1）-$\frac{1}{2}$]，
由题意得P（A₁）=$\frac{2}{3}$，∴P（A₁）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
∴由等比数列性质，得P（A_n）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴P（A_n）=$\frac{1}{6}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$+$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{6}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要注意全概率公式和等比数列的性质的合理运用．