Question

18．函数f（x）=axlnx+b在（1，f（1））处的切线方程为y=x+1
（1）求a，b；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由题意可得f（1）=2，f′（1）=1，计算即可得到所求；
（2）求出f（x）的解析式，求得f（x）的导数，求得单调区间，即可得到最小值．

解答 解：（1）f（x）的导数为f′（x）=a（1+lnx），
易知f（1）=2，即b=2，
f′（1）=1，即a=1；
（2）f（x）=xlnx+2的导数为：
f′（x）=1+lnx，
${f}^{′}（x）＞0⇒（1+lnx）＞0⇒x＞\frac{1}{e}$，f′（x）＜0可得0＜x＜$\frac{1}{e}$．
则当$x∈（0，\frac{1}{e}）$时f（x）单调递减；当$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$时f（x）单调递增．
即有f（x）的最小值为$f（\frac{1}{e}）=2-\frac{1}{e}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键．