Question

17．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足如下条件：
①图象过原点；
②f（-x+2012）=f（x-2010）；
③方程f（x）=x有重根；
求：
（1）f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的图象关于直线x=1对称，结合方程f （x）=x有等根其△=0，我们可构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）由（1）中函数的解析式，我们根据f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，我们易判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：（1）∵图象过原点，∴c=0．
∵f（x）满足f（-x+2012）=f（x-2010），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$，∴-$\frac{b}{2a}$=1．①
又f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）²=0．②
由①，②得 b=1，a=-$\frac{1}{2}$．∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
（2）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$．
如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤$\frac{1}{2}$，∴n≤$\frac{1}{6}$．
从而m＜n≤$\frac{1}{6}$＜1，而x≤1，f（x）单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=-\frac{1}{2}{m}^{2}+m=3m}\\{f（n）=-\frac{1}{2}{n}^{2}+n=3n}\end{array}\right.$，
可解得m=-4，n=0满足要求．
∴存在m=-4，n=0满足要求．

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，其中（1）的关键是由已知条件构造关于a，b的方程组，（2）的关键是根据函数的值域判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程．