Question

16．求y=$\frac{{x}^{2}+2x+3}{x+2}$（x＞-2）的最小值，并指出取到最小值时的x的值．

Answer 1

分析 换元，利用基本不等式，即可求出y=$\frac{{x}^{2}+2x+3}{x+2}$（x＞-2）的最小值．

解答 解：设x+2=t（t＞0），则x=t-2，
∴y=$\frac{（t-2）^{2}+2（t-2）+3}{t}$=t+$\frac{3}{t}$-2≥2$\sqrt{3}$-2，
当且仅当t=$\frac{3}{t}$，即t=$\sqrt{3}$，x=$\sqrt{3}$-2时，y=$\frac{{x}^{2}+2x+3}{x+2}$（x＞-2）的最小值为2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查求y=$\frac{{x}^{2}+2x+3}{x+2}$（x＞-2）的最小值，考查基本不等式的运用，正确转化是关键．