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    设F1、F2分别为椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点.

    （1）若椭圆C上的点A（1,）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标.

    （2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程.

    （3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值，试写出双曲线=1具有类似特性的性质并加以证明.

    分析:由已知条件可写出椭圆方程及代入法求轨迹，本题不是直接证明椭圆中的性质，而是类似地转化到双曲线中证明双曲线具有的性质,用斜率公式及双曲线方程即可得证.

    解:（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.

    又点A（1，）在椭圆上，因此+=1,b2=3.

    ∴c2=a2-b2=1.

    ∴椭圆C的方程为+=1,焦点F1（-1，0），F2（1，0）.

    (2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1)，线段F1K的中点Q（x,y）满足x=,y=,

    ∴x1=2x+1,y1=2y.

    ∴+=1,即（x+）2+=1为所求的轨迹方程.

    （3）类似的性质为：若M、N是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.设点M的坐标为（m,n），则点N的坐标为（-m,-n），其中=1.

    又设点P的坐标为（x,y），由kPM=,

    kPN=,得kPM·kPN=·=.

    将y2=x2-b2,n2=m2-b2,代入得kPM·kPN=.

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        类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给予足够的重视.有兴趣的同学也可证明椭圆具有的性质.类比是研究圆锥曲线的一种方法.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设F1，F2分别为椭C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点A(1，
    3
    2
    )    到两点的距离之和等于4．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
    （Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点Q(0.
    1
    2
    )    求|PQ|的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    设F1，F2分别为椭C：数学公式（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点数学公式到两点的距离之和等于4．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
    （Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点数学公式求|PQ|的最大值．

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