Question

（2013•江西）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=

3

2

，连接CE并延长交AD于F
（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=

π

2

，且∠ABE=∠AEB=

π

3

．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA=

π

3

，所以EF⊥AD且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG；
（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到

BC

、

CP

、

CD

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出

m

=（1，-

3

3

，

2

3

）和

n

=（1，

3

，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出

m

、

n

夹角的余弦，即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

解答：解：（1）∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，
∴AE=

1

2

BD，可得∠BAD=

π

2

，且∠ABE=∠AEB=

π

3

∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=

π

3

∴∠FED=∠FEA=

π

3

，可得EF⊥AD，AF=FD
又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，∴FG⊥AD
又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG；
（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得
A（0，0，0），B（1，0，0），C（

3

2

，

3

2

，0），D（0，

3

，0），P（0，0，

3

2

）
∴

BC

=（

1

2

，

3

2

，0），

CP

=（-

3

2

，-

3

2

，

3

2

），

CD

=（-

3

2

，

3

2

，0）
设平面BCP的法向量

m

=（1，y₁，z₁），则

m • BC = 1 2 + 3 2 y1=0 m • CP =- 3 2 - 3 2 y1+ 3 2 z1=0

解得y₁=-

3

3

，z₁=

2

3

，可得

m

=（1，-

3

3

，

2

3

），
设平面DCP的法向量

n

=（1，y₂，z₂），则

n • CD =- 3 2 + 3 2 y2=0 n • CP =- 3 2 - 3 2 y2+ 3 2 z2=0

解得y₂=

3

，z₂=2，可得

n

=（1，

3

，2），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1×1+(- 3 3 )× 3 + 2 3 ×2

1+ 1 3 + 4 9 • 1+3+4

=

2

4

因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于|cos＜

m

，

n

＞|=

2

4

．

点评：本题在三棱锥中求证线面垂直，并求平面与平面所成角的余弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．