Question

已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域、值域；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）满足：对于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由4-a^x≥0，得a^x≤4．当a＞1时，x≤log_a4；当0＜a＜1时，x≥log_a4．
即当a＞1时，f（x）的定义域为（-∞，log_a4]；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为[log_a4，+∞）．
令t=，则0≤t＜2，且a^x=4-t²，∴f（x）=g（t）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
当t≥0时，g（x）是t的单调减函数，∴g（2）＜g（t）≤g（0），即-5＜f（x）≤3，∴函数f（x）的值域是（-5，3]．
（2）若存在实数a，使得对于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0，则区间[-1，+∞）是定义域的子集．
由（1）知，a＞1不满足条件；所以0＜a＜1，且log_a4≤-1，即．
令t=，由（1）知，f（x）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
由f（x）≤0，解得t≤-3（舍）或t≥1，即有≥1解得a^x≤3，
由题意知对任意x∈[-1，+∞），有a^x≤3恒成立，因为0＜a＜1，所以对任意x∈[-1，+∞），都有a^x≤a^-1．所以有a^-1≤3，解得，即．∴存在，对任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0．
分析：（1）利用函数的性质求函数的定义域和值域．
（2）要使函数在x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0，则实质是求函数f（x）在[-1，+∞）上的最大值是否满足条件．
点评：本题的考点是与指数函数有关的复合函数的定义域和值域问题，解决此类问题的关键是利用换元，将函数进行转换判断．