Question

【题目】己知圆，圆．

（1）证明：圆与圆有公共点，并求公共点的轨迹的方程；

（2）已知点，过点且斜率为的直线与（1）中轨迹相交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在实数使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；；（2）存在实数使得．

【解析】

（1）根据圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，即可得出公共点的轨迹的方程；

（2）设过点且斜率为的直线方程为，将其代入椭圆方程，利用韦达定理得出的值，再结合两点的斜率公式求解即可.

（1）证明：因为，所以

因为圆的半径为，圆的半径为

又因为，所以，即

所以圆与圆有公共点

设公共点为，因此，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，所以

即轨迹的方程为

（2）过点且斜率为的直线方程为，设

由消去得到

则①

因为

所以

将①式代入整理得

因为

所以当时，即时，

即存在实数使得