Question

已知向量

a

，

b

是夹角为60°的单位向量，

c

=3

a

+5

b

，

d

=m

a

-3

b

．
（1）求|

a

+3

b

|．
（2）当m为何值时，

c

与

d

垂直？
（3）当m为何值时，

c

与

d

平行？

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积的应用求向量长度．（2）利用向量垂直转化为数量积等于0来计算．（3）利用向量平行的共线定理求解决．

解答：解：（1）因为向量

a

，

b

是夹角为60°的单位向量，
所以|

a

|=|

b

|=1，

a

?

b

=

1

2

．
所以|

a

+3

b

|2=|

a

|2+6

a

?

b

+9|

b

|2=13，
所以|

a

+3

b

|=

13

．
（2）若

c

与

d

垂直，则

c

?

d

=0，
即

c

?

d

=(3

a

+5

b

)?(m

a

-3

b

)=0．
所以3m|

a

|2-9

a

?

b

+5m

a

?

b

-15|

b

|2=0．
解得m=

39

11

．
（3）若

c

与

d

平行，
则设

c

=x

d

，即3

a

+5

b

=x(m

a

-3

b

)，
所以

mx=3 -3x=5

，
解得

m=- 9 5 x=- 5 3

，
所以当m=-

9

5

时，

c

与

d

平行．

点评：本题主要考查了利用向量解决向量平行和垂直的应用，要求熟练掌握向量平行和垂直的等价条件．