Question

【题目】设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若 ，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为 ，
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如图，

设D（x0 ， kx0），E（x1 ， kx1），F（x2 ， kx2），其中x1＜x2 ，
且x1 ， x2满足方程（1+4k2）x2=4，
故 ．①
由 知x0﹣x1=6（x2﹣x0），得 ；
由D在AB上知x0+2kx0=2，得 ．
所以 ，
化简得24k2﹣25k+6=0，
解得 或 ．
（Ⅱ）由题设，|BO|=1，|AO|=2．由（Ⅰ）知，E（x1 ， kx1），F（x2 ， kx2），
不妨设y1=kx1 ， y2=kx2 ， 由①得x2＞0，根据E与F关于原点对称可知y2=﹣y1＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S△OBE+S△OBF+S△OAE+S△OAF
= （﹣y1）
=
=x2+2y2
= = = ，
当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为
【解析】（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x0 ， kx0），E（x1 ， kx1），F（x2 ， kx2），且x1 ， x2满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得x2的表达式，进而根据 求得x0的表达式，由D在AB上知x0+2kx0=2，进而求得x0的另一个表达式，两个表达式相等求得k．（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1 ， y2=kx2 ， 进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．
【考点精析】通过灵活运用向量的共线定理，掌握设，，其中，则当且仅当时，向量、共线即可以解答此题．