Question

【题目】如图所示，一张形状为等边三角形的纸片，边长为8，将它对折，使顶点落在边上，当点沿着从点到点移动时，求折痕长的最大值及最小值.

Answer 1

【答案】最大值为，最小值为4

【解析】

设，根据对称性只需考虑.由正弦定理可得(用表示)，从而可得,类比可得，即得折痕函数关系式，再化简得，根据三角函数单调性确定折痕函数单调性，最后根据单调性求最值.

解 设对折后点落在上的点为，折痕为交于点，则是的中垂线，设，由等边三角形的对称性可知，我们只需考虑.

在中，由正弦定理，得，即.

在与中，

，

.

.

考察分母中的.

.

当时，，

所以是递增函数且也是递增函数.

因为它们的函数值均为正，所以在递增.

当时，取最大值为.当时，取最小值为4.

所以折痕长的最大值为，最小值为4.