Question

例3：已知函数y=sin⁴x-2acos²x+a²的最小值为1，求常数a可能取的值．

Answer 1

分析：根据同角三角函数间的关系，可将原函数式化简为y=（sin²x+a）²-2a，根据二次函数的性质，又有0≤sin²x≤1，对a分三种情况讨论，依次分析，验证其最小值是否为1，可得答案．

解答：解：根据同角三角函数间的关系，有cos²x=1-sin²x，
则y=sin⁴x-2a（1-sin²x）+a²=sin⁴x+2asin²x+a²-2a=（sin²x+a）²-2a，
又有0≤sin²x≤1，
若-a＜0，即a＞0时，
分析可得，当sin²x=0时，y的最小值为a²-2a，
根据题意，a²-2a=1，解可得a=-1±

2

，
又有a＞0，故舍去，
分析可得，当sin²x=1时，y的最小值为a²+1
根据题意，a²+1=1，解可得a=0，
又有a＜-1，故舍去，
若0≤-a≤1，即-1≤a≤0时，
分析可得，当sin²x=-a时，y的最小值为-2a，
根据题意，-2a=1，解可得a=-

1

2

，
综合可得，a=-

1

2

．

点评：本题考查函数的最值，尤其涉及二次函数时，注意要对参数分情况讨论．