Question

【题目】已知正三棱锥A﹣BCD的外接球半径R= ，P，Q分别是AB，BC上的点，且满足 = =5，DP⊥PQ，则该正三棱锥的高为（ ）
A.
B.
C.
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵正三棱锥中对棱互相垂直，∴AC⊥BD， ∵P，Q分别是AB，BC上的点，且满足 = =5，
∴PQ∥AC，∵DP⊥PQ，∴DP⊥AC，
∴AC⊥平面ABD，
又∵该三棱锥是正三棱锥，∴正三棱锥A﹣BCD的三条侧棱相等且互相垂直，
将正三棱锥A﹣BCD补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接直径，
故2R= ，
由正方体的性质知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高，
该正三棱锥的高为 ．
故选：A．
【考点精析】利用棱锥的结构特征对题目进行判断即可得到答案，需要熟知侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方．