Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线： 与椭圆相交于， 两点（， 不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析，定点坐标为.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义，知，；（2）联立方程，得到根与系数的关系，以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D，所以,

试题解析：（ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，

由已知得：a+c=3，a-c=1，

∴a=2，c=1，

∴b2=a2-c2=3，

∴椭圆的标准方程为。

（ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，

则，

又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2，

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），

∴

整理为，得，，或，代入后，得到过，或是过