Question

一射击运动员进行飞碟射击训练，每一次射击命中飞碟的概率p与运动员离飞碟的距离s（米）成反比，每一个飞碟飞出后离运动员的距离s（米）与飞行时间t（秒）满足s=15（t+1）（0≤t≤4），每个飞碟允许该运动员射击两次（若第一次射击命中，则不再进行第二次射击）．该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击，命中的概率为，当第一次射击没有命中飞碟，则在第一次射击后0.5秒进行第二次射击，子弹的飞行时间忽略不计．
（1）在第一个飞碟的射击训练时，若该运动员第一次射击没有命中，求他第二次射击命中飞碟的概率；
（2）求第一个飞碟被该运动员命中的概率；
（3）若该运动员进行三个飞碟的射击训练（每个飞碟是否被命中互不影响），求他至少命中两个飞碟的概率．

Answer 1

解：（1）每一次射击命中飞碟的概率p与运动员离飞碟的距离s（米）成反比，
依题意设为常数），由于s=15（t+1）（0≤t≤4），
∴．
当t=0.5时，，则，解得k=18．
∴．
当t=1时，．
∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为．

（2）设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件A
第二次命中飞碟为事件B，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件：．
∵，
∴=．
∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为．
（3）设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为ξ，
由题意知ξ符合独立重复试验，
∴至少命中两个飞碟的概率为P=P（ξ=2）+P（ξ=3）
=C₃²p²（1-p）+C₃³p³==．
分析：（1）每一次射击命中飞碟的概率p与运动员离飞碟的距离s（米）成反比，列出关系式，代入s=15（t+1），根据每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击，命中的概率为，求出系数，得到结果．
（2）第一个飞碟被该运动员命中包括该运动员第一次射击命中飞碟，或是第一次没有命中飞碟且第二次命中飞碟，这两种情况是互斥的，根据相互独立事件的概率和互斥事件的概率公式，得到结果．
（3）该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为ξ，ξ符合独立重复试验，运动员至少命中两个飞碟包括命中两个飞碟和命中三个飞碟，这两种情况是互斥的，写出概率．
点评：本题考查独立重复试验，考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查利用概率知识解决实际问题的能力，是一个概率的综合题目．