Question

设f(x)=x+

4

x

，
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在（0，2]和[2，+∞）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）根据f(x)=x+

4

x

求出其定义域，判断是否关于原点对称．求出f（-x）的解析式与f（x）的解析式进行判断，得出奇偶性．
（2）在区间内分别设出x₁＜x₂．求f（x₁）-f（x₂），并化简为几个式子乘积或商的形式，根据给定的区间进行判断各个式子的符号，然后判断出最终f（x₁）-f（x₂）的符号．最后得出f（x₁）与f（x₂）的关系，判断与x₁ 和x₂之间的关系，根据单调性的定义得出结论．

解答：解：（1）由f(x)=x+

4

x

知，定义域为{x|x≠0}
显然，定义域关于原点对称．
f(-x)=-x+

4

-x

=-(x+

4

x

)=-f（x）
所以．f（x）为奇函数
（2）①任取x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，2]
由题意，f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)
=（x₁-x₂）+4

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
因为x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，2]
则x₁-x₂＜0；
0＜x₁x₂＜4，

4

x1x2

＞1，所以1-

4

x1x2

＜0
=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＞0
故f（x₁）＞f（x₂）
所以，f（x）在（0，2]为上的减函数．
②任取x₁＜x₂且x₁，x₂∈[2，+∞）
由题意，f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)
=（x₁-x₂）+4

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
因为x₁＜x₂且x₁，x₂∈[2，+∞）
则x₁-x₂＜0；
x₁x₂＞4，0＜

4

x1x2

＜1，所以1-

4

x1x2

＞0
=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＜0
故f（x₁）＜f（x₂）
所以，f（x）在为[2，+∞）上的增函数．
∴f（x）在（0，2]上为减函数，[2，+∞）上为增函数．

点评：本题考查双钩函数的性质，通过双钩函数来考查奇偶性和单调性通过定义的证明．