如图.某旅游区拟在公路l旁开发一个抛物线形的人工湖.湖沿岸上每一点到公路l的距离与到A处的距离相等.并在湖中建造一个三角形的游乐区.三个顶点都在湖沿岸上.直线通道MN经过A．经测算.A在公路l正东方向200m处.C在A的正西方向100m处．现以点C为坐标原点.以线段CA所在直线为x轴.建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，某旅游区拟在公路l（南北向）旁开发一个抛物线形的人工湖，湖沿岸上每一点到公路l的距离与到A处的距离相等，并在湖中建造一个三角形的游乐区，三个顶点都在湖沿岸上，直线通道MN经过A．经测算，A在公路l正东方向200m处，C在A的正西方向100m处．现以点C为坐标原点，以线段CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的方程；
（2）试判断是否存在直线通道MN，使得三角形的游乐区的面积为20000

m2？并作说明．

分析：（1）由题意可设抛物线的标准方程，且得到p，则抛物线的方程可求；
（2）假设存在直线通道MN，使得三角形的游乐区的面积为20000

m2，设出MN所在直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到M，N两点的纵坐标的和与积，代入三角形面积公式后可求出直线方程，说明假设成立．

解答：解：（1）依题意，设所求的抛物线方程为y²=2px（p＞0），
∵抛物线的焦点A（100，0），
∴

=100，所求的方程为y²=400x；
（2）解法1：设点M、N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），直线MN的方程为x-100=ny，
联立

x-100=ny

y2=400x

消去x，得到y²-400ny-40000=0，∴y₁+y₂=400n，y₁•y₂=-40000，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

160000n2+160000

=400

n2+1

，
∴S△MNC=

|CA|•|y1-y2|=

×100×400

n2+1

=20000

n2+1

=20000

，
∴当n=±1时，S_△MNC=20000

m2．
答：存在两条MN的直线通道使面积是20000

m2．
解法2：设点M、N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
①当直线的斜率k不存在时，
直线MN的方程为x=100，S_△MNC=20000；
②当直线的斜率k存在时，
设直线MN的方程为y=k（x-100），易知k≠0，
联立

y=k(x-100)

y2=400x

消去x，得到y2-

400y

-40000=0，
∴y1+y2=

400

，y1•y2=-40000，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

160000

+160000

=400

，
∴S△MNC=

|CA|•|y1-y2|=

×100×400

=20000

，
综合①与②可知，当直线MN的斜率k=±1时，S_△MNC取到20000

m²．
答：存在两条MN的直线通道使面积是20000

m2．

点评：本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，利用方程的根与系数的关系，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．

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如图，某旅游区拟在公路l（南北向）旁开发一个抛物线形的人工湖，湖沿岸上每一点到公路l的距离与到A处的距离相等，并在湖中建造一个三角形的游乐区MNC，三个顶点M，N，C都在湖沿岸上，直线通道MN经过A处．经测算，A在公路l正东方向200米处，C在A的正西方向100米处，现以点C为坐标原点，以线段CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的方程；
（2）试确定直线通道MN的位置，使得三角形游乐区MNC的面积最小，并求出最小值．

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科目：高中数学 来源：2011-2012学年福建省高三5月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

如图，某旅游区拟在公路（南北向）旁开发一个抛物线形的人工湖，湖沿岸上每一点到公路的距离与到处的距离相等，并在湖中建造一个三角形的游乐区，三个顶点都在湖沿岸上，直线通道经过处.经测算，在公路正东方向米处，在的正西方向米处，现以点为坐标原点，以线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，