【题目】如图所示,在三棱柱中,
为正方形,
为菱形,
.
(1)求证:平面⊥平面
;
(2)若是
中点,∠
是二面角
的平面角,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:()连接BC1,可得B1C⊥面ABC1.B1C⊥AB,由AB⊥BB1,得AB⊥面BB1C1C.可得平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;(2)由∠ADB是二面角A-CC1-B的平面角,得△C1BC为等边三角形.分别以BA,BB1,BD为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
不妨设AB=2,则A(2,0,0),C1(0,1, ),C(0,1,
),利用向量法求解.
试题解析:(1)证明:连接BC1,因为BB1C1C为菱形,
所以B1C⊥BC1,又B1C⊥AC1,AC1∩BC1=C1,
所以B1C⊥面ABC1.故B1C⊥AB.
因为AB⊥BB1,且BB1∩BC1,所以AB⊥面BB1C1C.
而AB平面ABB1A1,所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;
(2)因为∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角,
所以BD⊥CC1,又D是CC1中点,
所以BD=BC1,所以△C1BC为等边三角形.
如图所示,分别以BA,BB1,BD为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
不妨设AB=2,则A(2,0,0),C1(0,1, ),C(0,1,
),则
).
设是平面ABC的一个法向量,则
,即
,
取z=1得.
所以
所以直线AC1与平面ABC所成的正弦值为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆经过点M(﹣2,﹣1),离心率为
.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点O,以x轴为对称轴,且经过点P(1,2).
(1)求抛物线C的方程;
设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,|PM|=|PN|.求直线AB的斜率.
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