Question

已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点，试利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=45°．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：把角∠PED看成向量

EP

与

ED

的夹角，以

BA

、

BC

为基底，用基底表示

EP

与

ED

，再代入两向量的夹角公式即可解出．

解答： 解：设

BA

=

a

、

BC

=

b

，则

a

、

b

为表示平面的一组基底，
且|

a

|=3，|

b

|=2，

a

⊥

b

，∠PED为向量

EP

与

ED

的夹角，
又

BP

∥

BA

，可设

BP

=t

a

，∴

EP

=

BP

-

BE

=t

a

-

1

2

b

，
而

ED

=

BD

-

BE

=

BC

+

BA

-

1

2

BC

=

BA

+

1

2

BC

=

a

+

1

2

b

．
∴

EP

•

ED

=（t

a

-

1

2

b

）•（

a

+

1

2

b

）=t

a

2-

1

4

b

2=9t-1，
|

EP

|=

(t a - 1 2 b )2

=

9t2+1

，|

ED

|=

( a + 1 2 b )2

=

10

，

∴cos∠PED=

EP • ED

| EP |•| ED |

=

9t-1

9t2+1 • 10

=

2

2

，
解得t=

2

3

、t=-

1

6

（舍）
∴点P在AB的一个3等分点时，∠PED=45°．

点评：本题考查平面向量知识的综合运用，其中要应用平面向量基本定理去解题时，要用基底向量正确表示其它向量．