Question

已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE上的中点，且CD∥BE，将△ACD沿CD折起到位置A₁CD，使平面A₁CD与平面BCD所成的二面角A₁-CD-B的大小为θ，．
（1）若θ=

π

3

，求直线A₁E与平面BCD所成的角的正切值；
（2）已知G为A₁E的中点，若BG⊥A₁D，求cosθ的取值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先利用折叠前的相关量利用勾股定理，求出对应的线段长，利用θ=

π

3

，最为突破口，求出相对应的结果．
（2）采用转化法取DE中点H，连接GH，BH，因为G是A₁E中点，所以GH∥A₁D进一步求出，BG⊥GH和
A₁C=CB=2，BE=2，A₁D=DE=

5

，所以GH=

5

2

，EH=

5

2

最后利用三角形的关系解得：cos∠BEH=

5

5

，利用余弦定理得：BH=

13

2

，所以利用勾股定理得BG=

2

，因为BE⊥面A₁BC，所以∠A₁BE=90°，
A₁E=2BG=2

2

，A₁B=2，A₁C=A₁B=BC=2最后求得结果．

解答： 解：（1）直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE上的中点，且CD∥BE，将△ACD沿CD折起到位置，使平面A₁CD与平面BCD所成的二面角A₁-CD-B的大小为θ，
当θ=

π

3

时，
求得：△A₁BC为等边三角形
取BC得中点F，
BF=CF=1
进一步利用勾股定理解得：A1F=

3

FE=

17

所以：直线A₁E与平面BCD所成的角的正切值：
tanθ=

A1F

EF

=

3 17

17

（2）取DE中点H，连接GH，BH
因为G是A₁E中点
所以GH∥A₁D
因为BG⊥A₁D
所以BG⊥GH
所以A₁C=CB=2，BE=2，A₁D=DE=

5

所以GH=

5

2

，EH=

5

2

cos∠BEH=

5

5

利用余弦定理得：
BH=

13

2

所以勾股定理得BG=

2

因为BE⊥面A₁BC
所以∠A₁BE=90°
A₁E=2BG=2

2

，A₁B=2，A₁C=A₁B=BC=2
所以cosθ=cos60°=

1

2

点评：本题考查的知识要点：线面的夹角问题的应用，面面夹角的应用及相关的运算问题．属于中等难度题型．