Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，若PA=PD．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD．求证：PQ⊥平面ABCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先利用菱形的特殊的边角关系证得BQ⊥AD，进一步利用PA=PD，证得PQ⊥AD，进一步得到线面垂直，最后转化为面面垂直．
（2）直接利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直．

解答： 证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，连结BD，
因为：底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，
所以：BQ⊥AD，
又PA=PD，
所以：PQ⊥AD，
所以：AD⊥平面PQB，
AD?平面PAD，
平面PQB⊥平面PAD．
（2）已知平面PAD⊥平面ABCD，
PQ?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
且PQ⊥AD，
所以：PQ⊥平面ABCD．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的性质定理，属于基础题型．