Question

已知a＞1，n≥2，n∈N^*．求证：

n	a

-1＜

a-1

n

．

Answer 1

分析：欲证

n	a

-1＜

a-1

n

，转化成指数式t+1＜（1+

t

n

）ⁿ．再对指数式利用二项定理展开，结合放缩法证得即可．

解答：证明：要证

n	a

-1＜

a-1

n

，
即证a＜（

a-1

n

+1）ⁿ．
令a-1=t＞0，则a=t+1．
也就是证t+1＜（1+

t

n

）ⁿ．
∵（1+

t

n

）ⁿ=1+C_n¹

t

n

+…+C_nⁿ（

t

n

）ⁿ＞1+t，
即

n	a

-1＜

a-1

n

成立．

点评：本题考查不等式的证明，属于中档题．本题还考查了二项式定理的展开式，一般地，涉及不等关系的指数式可应用二项式定理展开后进行放缩．