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已知g(x)=1-x,f[g(x)]=2-x2
(1)求f(x)的解析式;
(2)h(x)=f(x)-1-a,若h(x)<0在x∈(-1,2)上恒成立,求a的取值范围.
分析:(1)利用换元法可求得f(x);
(2)表示出不等式h(x)<0,分离参数a后转化为二次函数的最值可求;
解答:解:(1)f[g(x)]=2-x2,即f(1-x)=2-x2
令t=1-x,则x=1-t,f(t)=2-(1-t)2=1+2t-t2
∴f(x)=-x2+2x+1;
(2)h(x)=f(x)-1-a=-x2+2x-a,
则h(x)<0即为-x2+2x-a<0,也即a>-x2+2x,
∵x∈(-1,2)时,-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,
∴a>1.
点评:本题考查函数解析式的求解及常用方法、函数的最值及恒成立问题,考查转化思想,恒成立问题常化为最值问题解决.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

21、例4.已知f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b(a、b、c∈R),当x∈[-1,1]时,|f(x)|≤1
(1)证明:|c|≤1.
(2)x∈[-1,1]时,证明|g(x)|≤2.
(3)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)max=2,求f(x).

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)求证:函数f(x)=x+
a
x
是奇函数;
(2)已知函数g(x)=x+
1
x
在区间(0,1)上是单调减函数,在区间(1,+∞)上是单调增函数;函数g(x)=x+
4
x
在区间(0,2)上是单调减函数,在区间(2,+∞)上是单调增函数;猜想出函数g(x)=x+
b2
x
,(b>0),x∈(0,+∞)的单调区间;
(3)指出函数h(x)=x+
8
x
,x∈(-∞,0)在什么时候取最大值,最大值是多少.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知g(x)=1-x,f[g(x)]=2-x2
(1)求f(x)的解析式;
(2)h(x)=
f(x)-1
x2
-a,若h(x)在x∈[-3,-1]上的最大值是-
5
3
,求a的值.

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科目:高中数学 来源:2011年高三数学复习(第2章 函数):2.8 一次函数、二次函数(解析版) 题型:解答题

例4.已知f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b(a、b、c∈R),当x∈[-1,1]时,|f(x)|≤1
(1)证明:|c|≤1.
(2)x∈[-1,1]时,证明|g(x)|≤2.
(3)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)max=2,求f(x).

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