Question

已知实数a，b∈R，若M=

-1 a b 3

所对应的变换T_M把直线l：3x-2y=3变换为自身，试求实数a，b．

Answer 1

分析：根据题意，先设已知直线上点P的坐标（x，y），根据矩阵的乘法公式得出变换T_M将点P变换成新的点P′（x′，y′），其中x′，y′是关于x、y的式子，因为变换T_M把直线l：3x-2y=3变换为自身，所以点P′（x′，y′）还在直线l上，代入坐标进行整理，最后可得实数a，b的值．

解答：解：设点P（x，y）是直线l：3x-2y=3上的一点，变换T_M把点P变成点P′（x′，y′）
则有：

-1 a b 3

•

x   y

 ]=

x/   y/

∴

x/=-x+ay y/=bx+3y

⇒点P′的坐标为（-x+ay，bx+3y）
根据题意点P′（-x+ay，bx+3y）在直线l：3x-2y=3上，
∴3（-x+ay）-2（bx+3y）=3
整理得：（-3-2b）x+（3a-6）y=3
∵变换T_M把直线l：3x-2y=3变换为自身
∴-3-2b=3且3a-6=-2
∴a=

4

3

，b=-3

点评：本题考查了矩阵的乘法公式和矩阵变换的定义和性质，属于中档题．利用对应点法和比较系数求出参数的值，是本题解题的主要方法．