Question

已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A=

cosα

sinα+sin3α

，B=

1+α2

4α

．则（　　）

A．A＞B

B．A＜B

C．A=B

D．A与B的大小不确定

Answer 1

分析：作出函数f（x）=|sinx|的图象，利用函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，确定切点坐标，然后利用三角函数的关系即可得到结论．

解答：解：作出函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）的图象，如图所示，要使两个函数有且仅有三个交点，
则由图象可知，直线在（π，

3π

2

）内与f（x）相切．
设切点为A（α，-sinα），
当x∈（π，

3π

2

）时，f（x）=|sinx|=-sinx，
此时f'（x）=-cosx，x∈（π，

3π

2

）．
∴-cosα=-

sinα

α

，即α=tanα，
∴

cosα

sinα+sin3α

=

cosα

4sinαcos2α

=

1

4sinαcosα

=

cos2α+sin2α

4sinαcosα

=

1+tan2α

4tanα

=

1+α2

4α

．
即A=B．
故选：C．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．