Question

【题目】如图甲，在等腰梯形中，，，是的中点.将沿折起，使二面角为，连接，得到四棱锥（如图乙），为的中点，是棱上一点.

（1）求证：当为的中点时，平面平面；

（2）是否存在一点，使平面与平面所成的锐二面角为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）存在；

【解析】

（1）由题易证得,根据等腰三角形的性质可得,,则平面,由平行线的性质可知平面,则,再利用可得,即可求证；

（2）由题以为原点,为坐标轴建立空间坐标系,设,,分别求得平面与平面的法向量,进而利用数量积求解即可.

（1）证明:连接,,

由题,因为,为的中点,所以,

因为是的中点,所以,

又,所以四边形是平行四边形,所以,即,

所以,且,

又,所以平面,

因为,所以平面,

因为平面,所以,

又因为,为的中点,所以,

又,所以平面.

又平面,所以平面平面.

（2）解:存在,

以为原点,为坐标轴建立如图所示的坐标系,如图所示,

不妨设棱长,由（1）可知是等边三角形,

则,,,,

设,且,,

则,

可得,则,,

设是平面的一个法向量,

则,即,

令,则,

由（1）知平面,则是平面的一个法向量,

若存在点,使平面与平面所成的锐二面角为,

则,

解得,

所以存在点,使平面与平面所成的锐二面角为,此时.