Question

3．若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（　　）

• A． $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$＜1-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$x²
• B． ln（1+x）≥x-$\frac{1}{8}$x²
• C． e^x≤1+x+x²
• D． cosx≥1-$\frac{1}{2}$x²

Answer 1

分析 A．取x=0时，即可判断出正误；
B．令f（x）=ln（1+x）-x+$\frac{1}{8}$x²，f′（x）=$\frac{x（x-3）}{4（1+x）}$，当0＜x＜3时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．f（x）≤f（0）=0，即可判断出正误．
C．令f（x）=e^x-1-x-x²，则f′（x）=e^x-1-2x，f^″（x）=e^x-2，利用导数研究其单调性即可判断出正误；
D．令f（x）=cosx-1+$\frac{1}{2}{x}^{2}$，f′（x）=-sinx+x，令h（x）=x-sinx，h′（x）=1-cosx≥0，利用导数研究其单调性即可判断出正误．

解答 解：A．取x=0时，左边=1，右边=1，此时左边=右边，因此A不正确；
B．令f（x）=ln（1+x）-x+$\frac{1}{8}$x²，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1+$\frac{1}{4}$x=$\frac{x（x-3）}{4（1+x）}$，当0＜x＜3时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．f（x）≤f（0）=0，∴ln（1+x）≤x-$\frac{1}{8}{x}^{2}$，因此不成立．
C．令f（x）=e^x-1-x-x²，则f′（x）=e^x-1-2x，f^″（x）=e^x-2，当ln2≤x时，f^″（x）≥0，函数f′（x）在[ln2，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（4）=e⁴-9＞0，∴当x＞4时，f（x）＞f（4）=e⁴-21＞0，因此不成立；
D．令f（x）=cosx-1+$\frac{1}{2}{x}^{2}$，f′（x）=-sinx+x，令h（x）=x-sinx，h′（x）=1-cosx≥0，∴函数h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（0）=0，∴函数f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，∴cosx$≥1-\frac{1}{2}{x}^{2}$在x∈[0，+∞）上恒成立．
故选：D．

点评 本题考查了通过构造函数利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．