Question

19．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=2，BC=4，E为线段AB上的动点（异于A、B），EF∥AD交CD于点F，沿EF折叠使二面角A-EF-B为直二面角．
（I）在线段BC上是否存在点M，使DM∥面AEB？若存在，则求出BM的长；若不存在，则说明理由；
（Ⅱ）若直线AC与面DCF所成的角为θ，求sinθ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）假设在线段BC上存在点M，使DM∥面AEB，则DM∥AB，从而四边形ABMD是平行四边形，由此能求出BM的长．
（Ⅱ）以E为原点，EA为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sinθ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）假设在线段BC上存在点M，使DM∥面AEB，则DM∥AB即可，
∵DM∥AB，AB?平面ABE，DM?平面ABE，
∴DM∥面AEB，
∵AD∥BC，M∈BC，∴AD∥BM，又DM∥AB，
∴四边形ABMD是平行四边形，
∴BM=AD=2．
（Ⅱ）以E为原点，EA为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，
设BE=a，则EA=2-a，
∴B（a，0，0），A（0，0，2-a），C（a，4，0），E（0，0，0），F（0，4-a，0），D（0，2，2-a），
$\overrightarrow{AC}$=（a，4，a-2），$\overrightarrow{DC}$=（a，2，a-2），$\overrightarrow{DF}$=（0，2-a，a-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{ax+2y+（a-2）z=0}\\{（2-a）y+（a-2）z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-a+4+a-2}{\sqrt{3}•\sqrt{{a}^{2}+16+（a-2）^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{2{a}^{2}-4a+20}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}•\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}-2a+10}}$，
∵直线AC与面DCF所成的角为θ，
∴sinθ=cos＜$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}•\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}-2a+10}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{（a-1）^{2}+9}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$．
∴$0＜sinθ≤\frac{\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．