Question

已知两点M（0，-

3

）和N（0，

3

），若直线上存在点P，使

.

PM

.

-

.

PN

.

=2，则称该直线为“和谐直线”．现给出下列直线：①x=2；②x-2y-3=0；③y=

2

2

x；④2x+3y-1=0，其中为“和谐直线”的是

 

（请写出符合题意的所有编号）．

Answer 1

分析：由题意可知点P必在双曲线y2-

x2

2

=1，把所给的直线方程与此双曲线的方程联立，只要有解就说明此直线是“和谐直线”．否则就不是．

解答：解：由题意可知点P必在双曲线y2-

x2

2

=1，
①联立

2y2-x2=2 x=2

，解得

x=2 y=± 3

，∴直线x=2上存在点P(2，±

2

)满足题意，故直线x=2是“和谐直线”．
②联立

2y2-x2=2 x-2y-3=0

，且y＞0，消去x得到2y²+12y+11=0，△=12²-4×2×11=56＞0，但是

y1+y2=-6 y1y2= 11 2

因此此方程的y无大于0的解，∴此直线上存不在点P满足题意，故此直线不是“和谐直线”．
③联立

2y2-x2=2 y= 2 2 x

，消去y化为0=2，∴此方程组无解，∴直线y=

2

2

x上不存在点P满足题意，故此直线不是“和谐直线”．
①联立

2y2-x2=2 2x+3y-1=0

，解得

x=-4 y=3

，∴此直线上存在点P（-4，3）满足题意，故此直线是“和谐直线”．
综上可知：只有①④正确．
故答案为①④．

点评：由题意正确得出双曲线的方程和理解“和谐直线”的意义是解题的关键．