Question

（2010•台州二模）已知两点M（2，3），N（2，-3）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，斜率为

1

2

的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧），且四边形MANB面积的最大值为12

3

．w
（I）求椭圆C的方程；
（II）若点N到直线AM，BM距离的和为6

2

，试判断△MAB的形状．

Answer 1

分析：（I）设直线l的方程为y=

1

2

x+m（m∈R），代入b²x²+a²y²=a²b²得：(b2+

a2

4

)x2+ma2x+a2m2-a2b2=0设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x_1，2，y_1，2∈R），则x1+x2=-

ma2

b2+ a2 4

，x1•x2=

ma2-a2b2

b2+ a2 4

，再由SMANB=

1

2

|MN|•|x1-x2|=

1

2

|MN|•

(x1+x2)2-4x1x2

=3•|MN|•

4a2b4+a4b2-4a2b2m2

b2+ a2 4

能求出椭圆C的方程．
（II）设直线MA、MB的方程分别为y=k₁（x-2）+3（5）y=k₂（x-2）+3（k_1，2∈R），得：（16k₁²+12）x²+（96k₁-64k₁²）x+64k₁²-192k₁-48=0，得A(

8k12-24k1-6

4k12+3

，

-12k12-12k1+9

4k12+3

)，同理：B(

8k22-24k2-6

4k22+3

，

-12k22-12k2+9

4k22+3

)，所以
kAB=

y1-y2

x1-x2

=

-12k12-12k1+9 4k12+3 - -12k22-12k2+9 4k22+3

8k12-24k1-6 4k12+3 - 8k22-24k2-6 4k22+3

=

1

2

，由此能够证明△MAB直角三角形．

解答：解：（I）设直线l的方程为y=

1

2

x+m（m∈R），
代入b²x²+a²y²=a²b²
得：(b2+

a2

4

)x2+ma2x+a2m2-a2b2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x_1，2，y_1，2∈R）
则x1+x2=-

ma2

b2+ a2 4

，x1•x2=

ma2-a2b2

b2+ a2 4

，------（3分）
又SMANB=

1

2

|MN|•|x1-x2|=

1

2

|MN|•

(x1+x2)2-4x1x2

=3•|MN|•

4a2b4+a4b2-4a2b2m2

b2+ a2 4

，
显然当m=0时，S_MANB=3•|MN|•

4a2b4+a4b2

b2+ a2 4

=12

3

（1）
由题意|MN|=6 （2）
4b²+9a²=a²b²（3）------（5分）
联立（1）、（2）、（3）解得：a²=16，b²=12，
即椭圆C的方程为：

x2

16

+

y2

12

=1．（4）------（7分）
（II）设直线MA、MB的方程分别为y=k₁（x-2）+3（5）y=k₂（x-2）+3（k_1，2∈R）
将（5）代入（4）得：（16k₁²+12）x²+（96k₁-64k₁²）x+64k₁²-192k₁-48=0------（9分）
则2x1=

64k12-192k1-48

16k12+12

，
∴x1=

8k12-24k1-6

4k12+3

∴A(

8k12-24k1-6

4k12+3

，

-12k12-12k1+9

4k12+3

)
同理：B(

8k22-24k2-6

4k22+3

，

-12k22-12k2+9

4k22+3

)
kAB=

y1-y2

x1-x2

=

-12k12-12k1+9 4k12+3 - -12k22-12k2+9 4k22+3

8k12-24k1-6 4k12+3 - 8k22-24k2-6 4k22+3

=

1

2

------（12分）
化简得：k₁²=k₂²，
∵k₁≠k₂，
∴k₁=-k₂
即直线MA与MB关于直线MN对称，
∴∠AMN=∠BMN------（14分）
∴N到直线MA与MB距离均为3

2

，
又|MN|=6，
∴∠AMN=∠BMN=

π

4

，
∴∠AMB=

π

2

．
故△MAB直角三角形．------（15分）

点评：本题主要椭圆方程的求法，判断三角形的形状．解题时要熟练掌握椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力．综合性强，是高考的重点，易错点是椭圆的知识体系不牢固．解题时要认真审题，注意化归与转化思想的灵活运用．