Question

（2010•台州二模）已知函数f（x）=x|x-a|+x-2在R上恒为增函数，则a的取值范围是

[-1，1]

．

Answer 1

分析：先取绝对值得到分段函数，要使f（x）在R上增，需要满足二个条件：（1）f（x）在[a，+∞）上增，（2）f（x）在（-∞，a）上增，然后根据二次函数的性质建立不等式，解之即可．

解答：解：f（x）=

x2+(1-a)x-2，x≥a -x2+(1+a)x-2，x＜a

要使f（x）在R上增，需要满足二个条件：（1）f（x）在[a，+∞）上增，（2）f（x）在（-∞，a）上增
（1）f（x）在[a，+∞）上增，则对称轴x=

a-1

2

在区间[a，+∞）的左边，即

a-1

2

≤a，解得a≥-1；
（2）f（x）在（-∞，a）上增，则对称轴x=

a+1

2

在区间（-∞，a）的右边，即

a+1

2

≥a，解得a≤1；
从而a的取值范围是[-1，1]
故答案为：[-1，1]

点评：本题主要考查了绝对值函数和分段函数，同时考查了二次函数的性质和分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．