Question

设函数 f (x)＝ax－lnx－3（a∈R），g(x)＝xe^1－x．

          （Ⅰ）若函数 g(x) 的图象在点 (0,0) 处的切线也恰为 f (x) 图象的一条切线，求实数    a的值；

          （Ⅱ）是否存在实数a，对任意的 x∈(0,e]，都有唯一的 x₀∈[e^－4,e]，使得 f (x₀)＝g(x) 成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

注：e是自然对数的底数．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1），，所以的图象在处的切线方程是；2分

设与的图象切于点，而，

且，解得；  5分

（2），在上单调递增，在上单调递减，

且，；      8分

若令，则原命题等价于对于任意，都有唯一的，使得成立．               9分

而，，

①当时，恒成立，所以在上单调递减，要满足条件，则必须有，且，无解，所以此时不存在满足条件的；10分

②当，恒成立，所以在上单调递减，要满足条件，则必须有，且，解得，；11分

③当时，在区间上单调递减，在上单调递增，

又，要满足条件，则，解得，

；   12分

④当时，恒成立，所以在上单调递增，

又，所以此时不存在满足条件；   13分

综上有．   15分

【解析】略