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    设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中.

    (Ⅰ) 求数列的首项和公比；

    (Ⅱ) 当时，求；

    (Ⅲ) 设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围.

     

    【答案】

    解：(Ⅰ) 由已知，所以，

    ， 所以，

    解得，所以数列的公比.……………………………2分

    (Ⅱ) 因为  ，

    ，……………①

    ，……………②

    ②①得，…………………………4分

    所以，

    当时，.………………………………6分

    (Ⅲ)，………………………………7分

    因为，所以，由得，

    注意到，当为奇数时，当为偶数时，

    所以最大值为，最小值为.………………………………9分

    对于任意的正整数都有，

    所以，.

    即所求实数的取值范围是.……………………………………10分

    【解析】本试题主要是考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列前n项和的运用。

    （1）因为设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中，那么可知由已知，所以，

    ， 所以，

    解得，所以数列的公比

    （2）利用错位相减法得到数列bn的公式。

    （3）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有

    因为，可以解得。

     

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    （1）若m=4，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列{cn}；
    （2）是否存在数列{cn}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．
    （3）是否存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列{cn}的个数；若不存在，请说明理由．

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    （Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{cn}；
    （Ⅱ）是否存在数列{cn}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；
    （Ⅲ）是否存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{cn}的个数；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”。已知数列中，，点在函数的图像上，其中为正整数。

      （1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列。

      （2）设（1）中“平方递推数列”的前项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式。

    （3）记，求数列的前项之和，并求使的的最小值。

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年山东省淄博市高三3月模拟考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．

    （1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；

    （2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，

    即，求；

    （3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值．

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年上海市青浦区高三上学期期终学习质量调研测试数学试卷 题型：解答题

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    设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．

    考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．

    （1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；

    （2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．

    （3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．

     

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