Question

1．如图，∠BAC的平分线与BC和外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D、E、C三点的圆于点F．若AE=6，EF=3，则AF•AC的值为27．

Answer 1

分析 连接CE，DF，证明△AEF∽△FED，即可得到结论，利用相交弦定理，可求AF•AC的值．

解答 解：如图，连接CE，DF，

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在圆内又知∠DCE=∠EFD，∠BCE=∠BAE，
∴∠EAF=∠EFD，
又∠AEF=∠FED，
∴△AEF∽△FED，
∴$\frac{EF}{ED}$=$\frac{AE}{EF}$，
∴EF²=ED•EA．
∵EF=3，AE=6，
∴ED=$\frac{3}{2}$，AD=$\frac{9}{2}$，
∴AC•AF=AD•AE=6×$\frac{9}{2}$=27．
故答案为：27．

点评 本题考查三角形的相似，考查相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．