Question

a，b∈R，若关于x的方程x²+（a+bi）x+4+3i=0有实数根，则|a|的最小值是

4

．

Answer 1

分析：设方程的实根为m，代入方程x²+（a+bi）x+4+3i=0，得出关于a，b的制约关系式，看作关于b的函数，求函数最值可以得出结果．

解答：解：设方程的实根为m，代入方程x²+（a+bi）x+4+3i=0得m²+（a+bi）m+4+3i=0，整理，得m²+am+4+（bm+3）i=0
所以

m2+am+4=0① bm+3=0②

，易知m≠0由②得m=-

3

b

，代入①消去m

9

b2

-

3a

b

+4=0，∴a=

9+4b2

3b

所以|a|=

9+4b2

3|b|

≥

2 9•4b2

3|b|

═

2×6|b|

3|b|

=4，当且仅当9=4b²=，b=±

3

2

时取到最小值．
故答案为：4

点评：本题借助于复系数二次方程的根的性质，求参数范围，考查消元法，基本不等式的应用，转化能力．