Question

下列四个命题中：
①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点；
②若f′（x）=0，则函数y=f（x）在x=x₀处取得极值；
③当m≥-1时，则函数y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域为R；
④“a=1”是“函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；
其中真命题是

①②③

．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：①根据函数零点的判定定理可得①正确；
②通过举反例可得②不正确；
③根据对数的真数可取遍所有的正实数，可得此对数函数的值域为R，故③正确．
④根据a=1时，函数在定义域上是奇函数，再根据函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数时，a=1，可得④不正确．

解答：解：①对于函数f（x）=lnx-2+x，f′(x)=

1

x

+1，∴函数在区间（1，e）上单调递增，f（1）=-1，f（e）=e-1＞0，根据函数零点的判定定理可得，在区间（1，e）上存在零点，故①正确．
②不正确，如当f（x）=x³时，显然满足f′（0）=0，但y=f（x）=x³ 在x=0处没有极值．
③m≥-1，函数y=log

1

2

(x2-2x-m)的真数为x²-2x-m，判别式△=4+4m≥0，故真数可取遍所有的正实数，所以函数y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域为R，故③正确．
④由a=1可得f(x)=

1-ex

1+ex

f（x）=定义域为R，关于原点对称f(-x)=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

ex+1

=-f（x），故函数在定义域上是奇函数，故充分性成立．
函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数，则有f（0）=0，∴a=1，故必要性成立，故“a=1”是“函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数”的充分必要条件，故④不正确．
故真命题是①②③
故答案为：①②③

点评：本题考查命题的真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，所以中档题．