Question

19．已知定圆C：x²+（y-3）²=4，过M（-1，0）的直线l与圆C相交于P，Q两点，
（1）当|PQ|=2$\sqrt{3}$时，求直线l的方程；
（2）求△CPQ（C为圆心）面积的最大值，并求出当△CPQ面积取得最大值时的直线l方程．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用C到l的距离d=1，即可求直线l的方程；
（2）表示出面积，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意；…（2分）
当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），
由于|PQ|=2$\sqrt{3}$，
所以C到l的距离d=$\sqrt{4-（\frac{|PQ|}{2}）^{2}}$=1
由$\frac{|-k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{4}{3}$．…（4分）
故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0．…（6分）
（2）设C到直线l的距离为d，则|PQ|=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，…（7分）
∴△CPQ面积S=$\frac{1}{2}d•|PQ|$=d$\sqrt{4-{d}^{2}}$≤$\frac{{d}^{2}+4-{d}^{2}}{2}$=2，…（9分）
当且仅当d²=4-d²，即d=$\sqrt{2}$时，等号成立，
当l与x轴垂直时，不合题意；…（10分）
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），d=$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$
解得：k=-7或k=1，…（11分）
∴直线l的方程是：7x+y+7=0或x-y+1=0． …（12分）

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，三角形的面积公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，是一道多知识点的综合题．