Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2）．
（1）设b_n=a_n+1+λa_n，是否存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（本小题满分14分）
（1）方法1：假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，
则有． ①…（1分）
由a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1，得a₃=5，a₄=11．
所以b₁=a₂+λa₁=3+λ，b₂=a₃+λa₂=5+3λ，b₃=a₄+λa₃=11+5λ，…（2分）
所以（5+3λ）²=（3+λ）（11+5λ），
解得λ=1或λ=-2．…（3分）
当λ=1时，b_n=a_n+1+a_n，b_n-1=a_n+a_n-1，且b₁=a₂+a₁=4，
有（n≥2）．…（4分）
当λ=-2时，b_n=a_n+1-2a_n，b_n-1=a_n-2a_n-1，且b₁=a₂-2a₁=1，
有（n≥2）．…（5分）
所以存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
当λ=1时，数列{b_n}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{b_n}为首项是1、公比是-1的等比数列．…（6分）
方法2：假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，
设（n≥2），…（1分）
即a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），…（2分）
即a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1．…（3分）
与已知a_n+1=a_n+2a_n-1比较，令…（4分）
解得λ=1或λ=-2．…（5分）
所以存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
当λ=1时，数列{b_n}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{b_n}为首项是1、公比是-1的等比数列．…（6分）
（2）解法1：由（1）知（n≥1），…（7分）
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+（a₅+a₆）+…+（a_n-1+a_n）…（8分）
=2²+2⁴+2⁶+…+2ⁿ…（9分）
=．…（10分）
当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）…（11分）
=1+2³+2⁵+…+2ⁿ…（12分）
=．…（13分）
故数列{a_n}的前n项和…（14分）
注：若将上述和式合并，即得．
解法2：由（1）知（n≥1），…（7分）
所以（n≥1），…（8分）
当n≥2时，
=
=．
因为也适合上式，…（10分）
所以=（n≥1）．
所以．…（11分）
则，…（12分）
=…（13分）
=．…（14分）
解法3：由（1）可知，…（7分）
所以．…（8分）
则，…（9分）
当n为偶数时，…（10分）
=．…（11分）
当n为奇数时，…（12分）
=．…（13分）
故数列{a_n}的前n项和…（14分）
注：若将上述和式合并，即得．
分析：（1）方法1：假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，通过以及a_n+1=a_n+2a_n-1，解得λ=1或λ=-2，λ=1，λ=-2，分别说明数列{b_n}为等比数列．
方法2：假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，设（n≥2），转化为a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），就是a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1，与a_n+1=a_n+2a_n-1比较，
解得λ=1或λ=-2，存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
（2）解法1：由（1）知（n≥1），当n为偶数时，当n为奇数时，分别求出数列{a_n}的前n项和．
解法2：由（1）知（n≥1），构造（n≥1），通过拆项法求出{}的通项公式，然后求出数列的前n项和．
解法3：由（1）可知，，求出，当n为偶数时，；当n为奇数时，，分别求出数列{a_n}的前n项和．
点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，前n项和的求法，拆项法，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，难度比较大．