Question

如图，设抛物线方程为x²=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）证明见解析（2）抛物线方程为或⑶仅存在一点M(0，-2p)适合题意

解析:

（Ⅰ）证明：由题意设

         由得，则                   所以

         因此直线MA的方程为　　　

直线MB的方程为…………………2分

         所以①  ②

由①、②得　  因此　，即

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. …………………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x₀=2时，  将其代入①、②并整理得：

         　　所以　x₁、x₂是方程的两根，

         因此    又   

所以                                     …………………6分

         由弦长公式得

又， 所以p=1或p=2，

因此所求抛物线方程为或…………………8分

（Ⅲ）解：设D(x₃,y₃)，由题意得C(x₁+ x₂, y₁+ y₂),

          则CD的中点坐标为

         设直线AB的方程为

         由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，

         代入得

         若D（x₃,y₃）在抛物线上，则

         因此　x₃=0或x₃=2x₀.

          即D(0，0)或    …………………10分

（1）当x₀=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意. ………………11分

（2）当，对于D(0，0)，此时

         又AB⊥CD， 所以………………12分

即矛盾.

对于因为此时直线CD平行于y轴，

又

所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

所以时，不存在符合题意的M点.

综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意. ………………………………14分