Question

16．一光线从x轴正向上一点P发出，被直线l：y=（2-$\sqrt{3}$）x反射到达点R（10+10$\sqrt{3}$，0）后又被x轴反射，反射光线与直线l平行，求△PQR的周长和面积（Q为l上的反射点）

Answer 1

分析 先求出直线RQ的斜率k_RQ=$\sqrt{3}-2$，再求出直线RQ的方程，从而求出Q点坐标，利用入射光线PQ和反射光线QR的性质，利用夹角公式求出PQ的斜率，进而求出PQ的直线方程，从而得到P点坐标，由此能求出△PQR的周长和面积．

解答 解：如图，由题意得直线PQ被直线l：y=（2-$\sqrt{3}$）x反射到达点R（10+10$\sqrt{3}$，0）后又被x轴反射，得到直线RN，
且RN∥l，
∴直线RN的斜率${k}_{RN}=2-\sqrt{3}$，∴直线RQ的斜率k_RQ=$\sqrt{3}-2$，法线l′的斜率k′=-$\frac{1}{{k}_{RN}}$=-$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=-2-$\sqrt{3}$，
∴直线RQ的方程为：$y=（\sqrt{3}-2）[x-（10+10\sqrt{3}）]$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=（2-\sqrt{3}）x}\\{y=（\sqrt{3}-2）[x-（10+10\sqrt{3}）]}\end{array}\right.$，得Q（5$\sqrt{3}$+5，5$\sqrt{3}$-5），
设直线PQ的斜率为k，l′是入射光线PQ和反射光线QR的法线，
∴|$\frac{k-（-2-\sqrt{3}）}{1+（-2-\sqrt{3}）k}$|=|$\frac{（\sqrt{3}-2）-（-2-\sqrt{3}）}{1+（\sqrt{3}-2）（-2-\sqrt{3}）}$|，
解得k=1，或k=-$\frac{1}{2\sqrt{3}+2}$（舍），
∴直线PQ的方程为y-（5$\sqrt{3}$-5）=x-（5$\sqrt{3}$+5），
令y=0，得P（10，0），
∴|PQ|=$\sqrt{（5\sqrt{3}+5-10）^{2}+（5\sqrt{3}-5-0）^{2}}$=（$5\sqrt{3}-5$）$\sqrt{2}$，
|QR|=$\sqrt{（5\sqrt{3}+5-10-10\sqrt{3}）^{2}+（5\sqrt{3}-5-0）^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
|PR|=（10+10$\sqrt{3}$）-10=10$\sqrt{3}$，
∴△PQR的周长为L=|PQ|+|PR|+|QR|=（5$\sqrt{3}-5$）$\sqrt{2}$+10$\sqrt{3}$+10$\sqrt{2}$=$5\sqrt{6}$+10$\sqrt{3}$+5$\sqrt{2}$．
△PQR的面积为S=$\frac{1}{2}×|PR|×{Q}_{y}$=$\frac{1}{2}×10\sqrt{3}×（5\sqrt{3}-5）$=75-25$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的周长和面积的求法，是中档题，解题时要注意对称性质、直线方程、夹角公式等知识点的合理运用．