Question

4．设x₁与x₂分别是方程2x²+bx+c=0和-2x²+bx+c=0的一个根，且x₁x₂≠0．求证：方程x²+bx+c=0有且只有一根介于x₁和x₂之间．

Answer 1

分析 先由x₁与x₂分别是实系数方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一个根，得到关于x₁与x₂的两个等式，再设f（x）=ax²+bx+c，利用条件推出f（x₁）f（x₂）＜0，即可说明方程ax²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

解答 解：由于x₁与x₂分别是方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的根，所以有$\left\{\begin{array}{l}{{{2x}_{1}}^{2}+{bx}_{1}+c=0}\\{-{{2x}_{2}}^{2}+{bx}_{2}+c=0}\end{array}\right.$．
设f（x）=x²+bx+c，则f（x₁）=x₁²+bx₁+c=-${{x}_{1}}^{2}$，f（x₁）=${{x}_{2}}^{2}$+bx₂+c=3${{x}_{2}}^{2}$，
∴f（x₁）f（x₂）=-3x₁²x₂²．
∵x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，所以f（x₁）f（x₂）＜0，
因此，方程x²+bx+c=0有且只有一根介于x₁和x₂之间．

点评 本题考查一元二次方程根的分布问题．在解题过程中用到了零点存在性定理，若想说函数在某个区间上有零点，只要区间两端点值异号即可，属于中档题．