Question

19．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦点F₂，倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，F₁为左焦点．求|AB|．

Answer 1

分析 求得椭圆的右焦点，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，和弦长公式，化简计算即可得到所求．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦点F₂为（1，0），
直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），
代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，可得5x²-4x-4=0，
x₁+x₂=$\frac{4}{5}$，x₁x₂=-$\frac{4}{5}$，
则弦长|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{16}{5}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于基础题．