Question

9．若L是过椭圆一个焦点且与长轴不重合的一条直线，则此椭圆与L垂直且被L平分的弦有0条．

Answer 1

分析 由题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），一个焦点为（c，0），设直线方程为y=k（x-c），交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），运用中点坐标公式和点差法，结合两点的斜率公式，可得中点的横坐标为x₀=$\frac{{a}^{2}}{c}$＞a，这与中点在椭圆内矛盾，即有这样的弦不存在．

解答 解：由题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
一个焦点为（c，0），
设直线方程为y=k（x-c），
交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中点为M（x₀，y₀），
则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
两式相减可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$=-$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{b}^{2}}$，
由直线l与AB垂直，则$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{k}$，
即有$\frac{{x}_{0}}{{a}^{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{k{b}^{2}}$，
又y₀=k（x₀-c），
解得x₀=$\frac{{a}^{2}}{c}$＞a，
这与中点M在椭圆内矛盾，
故直线AB与椭圆没有交点．
∴椭圆被l垂直平分的弦不存在．
故答案为：0．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了两直线垂直斜率间的关系，运用点差法解题是解题的关键，属于中档题．