Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$sinωx+cosωx），$\overrightarrow{n}$=（f（x）+$\frac{1}{2}$，-cosωx），其中ω＞0，且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，又f（x）的一条对称轴为x=$\frac{2π}{3}$，当ω取最小值时．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，若f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由数量积运算和三角函数公式可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），由对称性可得ω的最小值为$\frac{1}{4}$，可得f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），整体法可得f（x）的单调递增区间；
（2）由题意和三角形的知识可得A=$\frac{π}{3}$，进而可得C=$\frac{2π}{3}$-B，代入化简可得sinB+sinC=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），由B∈（0，$\frac{2π}{3}$）和三角函数的值域可得．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$sinωx+cosωx），$\overrightarrow{n}$=（f（x）+$\frac{1}{2}$，-cosωx），
又∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=f（x）+$\frac{1}{2}$-cosωx（$\sqrt{3}$sinωx+cosωx）=0，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$+cosωx（$\sqrt{3}$sinωx+cosωx）=-$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx）
=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1+cos2ωx}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）．
∵f（x）的一条对称轴为x=$\frac{2π}{3}$，∴2ω•$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
∴ω=$\frac{3k}{4}$+$\frac{1}{4}$，结合ω＞0可得ω的最小值为$\frac{1}{4}$，∴f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴f（x）的单调递增区间为[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（2）∵在△ABC中，若f（A）=sin（$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$，∴C=$\frac{2π}{3}$-B，
∴sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB
=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，∴$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]，
∴sinB+sinC的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及平面向量的数量积和三角函数的单调性和值域，属中档题．