Question

3．已知直线3x+2y-4=0过椭圆C的顶点，且椭圆C的焦点恰好是双曲线x²-y²=5的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知经过定点M（2，0），斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否存在另一个定点P，使得PM始终平分∠APB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得双曲线的顶点，可得椭圆的c=$\sqrt{5}$，再由直线与坐标轴的交点，可得b=2，求得a=3，进而得到椭圆方程；
（2）根据已知条件设出直线AB的方程x=my+2，联立椭圆的方程并消去x得到关于y的方程，根据韦达定理，而根据直线PA，PB的倾斜角互补，设P（t，0），化简整理，从而可建立关于t的方程，解方程即得P点坐标．

解答 解：（1）双曲线x²-y²=5的顶点为（±$\sqrt{5}$，0），
即有c=$\sqrt{5}$，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则5=a²-b²，
直线3x+2y-4=0过椭圆C的顶点，
即有x=0，y=2或y=0，x=$\frac{4}{3}$．
则b=2，a=3，
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2，
将直线AB的方程与椭圆的方程联立，消去x得：（4m²+9）y²+16my-20=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-16m}{9+4{m}^{2}}$①，y₁y₂=$\frac{-20}{9+4{m}^{2}}$②，
若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k_PA+k_PB=0，
设P（t，0），则有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，
将 x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得 $\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（2-t）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（m{y}_{1}+2-t）（m{y}_{2}+2-t）}$=0，
∴2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0，
将①②带入上式并整理得：（-2t+9）m=0，
由于上式对任意实数m都成立，所以t=$\frac{9}{2}$，
∴存在定点P（$\frac{9}{2}$，0），使PM平分∠APB．

点评 本题考查椭圆的标准方程和性质，直线与椭圆的位置关系，两点确定直线的斜率，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题．